王洪吉 天津理工大學理學院，天津300191

摘要  本文主要研究太極圖與八卦圖的幾何意義。指出六維廣義笛卡兒坐標系就是一個太極圖，這個坐標系的八個卦限對應八卦圖的八個符號。

關鍵詞    周易；  太極圖；  八卦圖；  廣義笛卡兒坐標系

一、引      言

    《周易》是我國傳統文化的精髓．它利用太極圖和八卦圖，以陰陽變化來說明宇宙萬物的一切現象，有“眾經之首”、“大道之源”和“天人之學”之稱 。

  筆者曾發現 “太極圖”中的兩條魚（陰陽魚）是人的半圈着的兩隻手，一左一右. 魚頭是手與手腕相連的部分，魚尾是手的手指尖部分. 兩隻魚眼是手的大拇指的指向，黑色和白色相當於物理學中的符號⊙和 ，太極圖表示左旋性和右旋性，左手定則和右手定則。《周易》中的陰爻 -  - 和陽爻 —— 的符號就是數學中的虛數單位i  和實數單位1 的符號 ．四象為四元數的基底，八卦為八元數的基底。“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦.”中的“太極、兩儀、四象和八卦.”就是實數域、複數域、四元數體和八元數代數（有限維的實交錯代數），“生”就是數學中的“擴張”和“超越擴張”．從代數學的角度說明了“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”的方式。

    在這基礎上，根據《周易》中，“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地， 觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠取諸物，於是始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情”的說法，筆者又建立了八元數的物理理論．利用一個方程統一了力學、電磁學、量子力學和萬有引力理論，給出了一些新結果，解決了一些物理學中的基本問題。在這一期間，因為物理上的需要，在八元數代數的基礎上，筆者還建立了一套新的系統的八元數分析、六維矢量代數、六維矢量分析和六維矢量幾何理論。

    筆者認識到，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，是古代人們的一種思維方式。為此筆者還寫了：一陰一陽之為道，太極、兩儀、四象、八卦與DNA，太極、兩儀、四象、八卦與十二經脈，太極、兩儀、四象、八卦與基本粒子，曾侯乙編鐘的音律體系，十二音律元素周期表，等一系列的文章。

 

    本文主要研究太極圖與八卦圖的幾何意義。指出廣義笛卡兒坐標系就是一個太極圖，八卦圖對應着八個卦限。

二、廣義笛卡兒坐標系

    一個有六個坐標軸的坐標系稱為廣義笛卡爾坐標系，在這個坐標系中x, y, z, 軸為實軸X, Y, Z 軸為虛軸，分別沿x, y, z, 軸的反方向。

    顯然，若x, y, z, 軸滿足右手關係，X, Y, Z 滿足左手關係。反過來，若x, y, z, 軸滿足左手關係，X, Y, Z 滿足右手關係。

三、太極圖的幾何意義 
 

      如前所述，太極圖是用來說明八元數的性質的示意圖.太極圖的兩條魚，一黑一白，是人的半圈着的兩隻手，一左一右. 魚頭是手與手腕相連的部分，魚尾是手的手指尖部分. 兩隻魚眼是手的大拇指的指向，黑色和白色相當於物理學中的符號⊙和 。太極圖表示左旋性和右旋性，左手定則和右手定則。

      如前所述，在廣義笛卡爾坐標系中，若x, y, z, 軸滿足右手關係，X, Y, Z 滿足左手關係。反過來，若x, y, z, 軸滿足左手關係，X, Y, Z 滿足右手關係。因此，廣義笛卡兒坐標系是太極圖的一種幾何表示，太極圖具有直觀的幾何意義。

四、八卦的幾何意義 

    八卦圖為下述形式

乾     兌      離      震      巽     坎      艮      坤

——   -  -    ——    -  -    ——   -  -    ——    -  -

——   ——    -  -    -  -    ——   ——    -  -    -  -

——   ——    ——    ——    -  -   -  -    -  -    -  -

圖1 伏羲八卦

      廣義笛卡爾坐標系中也是把空間分為八個卦限。第一卦限由三個正方向的實軸包圍，對應乾卦。第二卦限由一個正方向虛軸，兩個正方向的實軸包圍對應兌卦。第三卦限由由兩個正方向虛軸，一個正方向實軸包圍對應震卦。第四卦限由由一個正方向虛軸，兩個正方向實軸包圍對應離卦。第五卦限由兩個正向實軸，一個虛軸對應巽卦。第六卦限由兩個正向虛軸，一個實軸包圍對應坎卦。第七卦限由三個正向虛坐標軸包圍對應坤卦。第八卦限由兩個正向虛軸，一個正向實軸包圍對應艮卦。

      以上是根據數學上的習慣順序,由圖1的八個卦限畫出了八個卦。若採用周易太極圖中的S型曲線，就是第一卦限、第二卦限、第四卦限、第三卦限、第五卦限、第六卦限、第八卦限、第七卦限的順序，與伏羲八卦圖的順序完全一致了。

    伏羲八卦圖中間一個太極圖，周圍八個卦正好對應着一個廣義笛卡爾坐標系。

參  考  文  獻

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[26] 王洪吉,太極、兩儀、四象、八卦與十二經脈,光明網論文發表中心（自然科學），2007年

[27] 王洪吉，十二音律元素周期表，光明網論文發表中心（自然科學），2011年1月.

[28]王洪吉，中國科技論文在線，自薦學者