中國古代數學自漢代《九章算術》形成體系，發展至宋元時期達到高峰，期間出現了不少重要的數學著作。漢唐時期有“算經十書”，除《九章算術》之外，還有《周髀算經》、《海島算經》、《五曹算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》，以及《數術記遺》；宋元時期有數學四大家，包括秦九韶撰《數書九章》，李冶撰《測圓海鏡》，楊輝撰《詳解九章算法》、《楊輝算法》等，朱世傑撰《四元玉鑒》。宋元之後，明代有著名數學家程大位撰《算法統宗》，等等。雖然《周易》算不上是一部專門的數學著作，但是，它作為古代重要典籍，尤其是作為儒家經典，流傳於世，對於中國古代數學具有重要的影響。研究自漢代《九章算術》至宋元時期以及明代的數學發展可以看出，那些流傳久遠的重要的數學著作中大都留存着《周易》影響的痕迹。
一．《周易》與數學的起源
標誌中國古代數學體系形成的《九章算術》，由246個與實際生活密切相關的應用題及其解法所構成，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，內容涉及初等數學中的算術、代數、幾何等，包括分數概念及其運算、比例問題的計算、開平方和開立方的運算、負數概念、正負數加減運算、聯立一次方程的解法等。從邏輯的角度看，《九章算術》與《周易》之間似乎並沒有直接的關係。然而，魏晉時期的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時卻說：“徽幼習《九章》，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源。探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。”[[1]]（《序》）也就是說，劉徽是通過《周易》的陰陽之說“總算術之根源”，從而明白《九章算術》之意，並為《九章算術》作注。顯然。在劉徽看來，《九章算術》與《周易》有着密切的關係。
在這一基礎上，劉徽進一步認為，古代數學的產生可以追溯到包犧氏畫八卦。他在《九章算術注》的“序”中說：“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合六爻之變。暨於黃帝，神而化之，引而伸之，於是建曆紀、協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。”劉徽認為，數學是包犧氏為了“合六爻之變”而發明的，後來經由黃帝的進一步發展，以發揮《周易》“兩儀四象”的功效。
數學的產生是否真的源於《周易》，伏羲是否“作九九之數”，這是需要用歷史事實來證明的問題。《易傳》認為，伏羲“仰則觀象於天，俯則觀法於地，觀鳥獸之文，與地之宜，近取諸身，遠取諸物，於是始作八卦”[[2]]（《繫辭下傳》）。伏羲用八卦描述自然界現象，與現代自然科學用數學對自然界現象進行描述，其基本思想是一致的。而且，伏羲在用八卦描述自然界現象時，也有可能進行更為複雜的數學推演，當然，這一點尚需作進一步的論證。但無論如何，劉徽確實認為古代數學產生於《周易》，並且這一觀點對後世影響很大，得到大多數古代數學家的認同。
宋朝時期著名數學家秦九韶的數學著作《數書九章》系統地總結和發展了高次方程數值解法和一次同餘組解法，提出了相當完備的“正負開方術”和“大衍求一術”，達到了當時世界數學的最高水平。[[3]]（《秦九韶》）在論及數學的起源問題時，秦九韶說：“周教六藝，數實成之。學士大夫，所從來尚矣。……爰自河圖、洛書闓發秘奧，八卦、九疇錯綜精微，極而至於大衍、皇極之用，而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣。”[[4]]（《序》）他認為，數學的起源可以追溯到“河圖洛書”、“八卦九疇”，仍然把數學的起源歸於《周易》。
元朝時期著名數學家朱世傑的《四元玉鑒》論述了多元高次方程組的求解和高階等差級數等方面的問題，被美國科學史家喬治· 薩頓（G. Sarton）稱為“中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一”[[5]]。該書的“前序”由他的好友莫若所作，其中說道：“數一而已。一者萬物之所從始，故易一太極也。一而二，二而四，四而八，生生不窮者，豈非自然而然之數耶？河圖洛書泄其秘，《黃帝九章》著之書，其章有九，而其術則二百四十有六，始方田，終勾股，包括三才，旁通萬有。”[[6]]（《莫若序》）同樣認為數學最早源於“河圖洛書”。
明朝末期的數學家程大位所撰的《算法統宗》是珠算著作，流傳久遠。該書的“首篇”有：總說、河圖、洛書、伏羲則圖作易圖、洛書釋數、九宮八卦圖、洛書易換數、黃鐘萬事根本圖。其中“總說”說：“數何肇？其肇自圖、書乎！伏羲得之以畫卦，大禹得之以序疇，列聖得之以開物成務。凡天官、地員、律歷、兵賦以及纖悉杪忽，莫不有數，則莫不本於《易》、《范》。故今推明直指算法，輒揭河圖、洛書於首，見數有原本雲。”[[7]]（《首篇》）與以往的數學家一樣，程大位也認為數學起源於“河圖洛書”，伏羲畫卦。他還在“書《直指算法統宗》后”說：“數居六藝之一，其來尚矣，蓋自宓戲宰世，龍馬負圖，而數肇端。軒后紀曆，隸首作算，而法始衍。故聖人繼天立極，所以齊度量而立民信者，不外黃鐘九寸之管。”
需要進一步指出的是，古代數學家把數學的起源歸於《周易》以及“河圖洛書”，不僅僅只是為了從數學發展史的角度確定數學的來源問題，更在於說明《周易》的原理與數學研究之間有着密切的關係。
二．《周易》原理與數學研究
劉徽在《九章算術注》中雖然指出《九章算術》與《周易》有着密切的關係，並且認為他的《九章算術注》運用了《周易》的原理，但是，無論是《九章算術》還是劉徽的《九章算術注》，我們都很難從中看出這兩部數學經典與《周易》有任何直接的邏輯關係。然而，在劉徽之後的許多古代數學著作中，則不乏有數學與《周易》密切相關的事例，大致可分為以下三類：
第一，對《周易》中有關概念的運用。《數術記遺》是經北周數學家甄鸞注釋而成，該著作後來被列為唐代明算科考試的必讀書之一。全書主要分為兩大部分，一是大數進法，二是記數法。記數法列舉了14種記法：“其一積算，其一太一，其一兩儀，其一三才，其一五行，其一八卦，其一九宮，其一運籌，其一了知，其一成數，其一把頭，其一龜算，其一珠算，其一計數”[[8]]。顯然，這裡採用了《周易》中的一些重要概念。古代數學家大都研讀過《周易》，因此，在研究數學過程中藉助於《周易》中的概念是不足為奇的。
元代數學家朱世傑在所撰《四元玉鑒》的“卷首”有“四象細草假令之圖”一節，通過“一氣混元”、“兩儀化元”、“三才運元”、“四象會元”的概念分別給出了天元術、二元術、三元術、四元術的例題各一道，並予以解答和說明。這顯然是受到《周易》的“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”以及“三才”之道的影響。同時，在《四元玉鑒》下卷的八門中有“兩儀合轍”提出二元術問題12道，“三才變通”提出三元術問題11道，“四象朝元”提出四元術問題6道。至於朱世傑的“四元術”，莫若在《四元玉鑒》的“前序”中說：“其法以元氣居中，立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上。陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮。”[6]（《莫若序》）祖頤在《四元玉鑒》的“後序”中說：朱世傑“探三才之賾，索九章之隱，按天、地、人、物立成四元，以元氣居中，立天勾、地股、人弦、物黃方。”也就是說，“四元術”以天、地、人、物為“四元”，以元氣（常數項）居中。顯然，這是藉助了《周易》的天、地、人“三才”的概念。
明末數學家程大位所撰的《算法統宗》，把河圖、洛書、伏羲易圖等置於全書之首，然後才介紹數學基礎知識、珠算理論以及各類算題，這也許包含了借《周易》的概念統領整個數學體系的意味。
雖然在今天看來，古代數學家運用《周易》的有關概念來表述數學問題似有牽強附會之嫌，但筆者認為，古代數學家在數學研究中所採取的這種做法不可輕易視之為牽強附會而予以否定，而應當深入研究他們所採用的《周易》的概念與其數學研究之間所存在的關係；即使屬牽強附會，也應進一步分析其原因以及對於數學研究所起的作用。
第二，對《周易》中數學問題的研究。《周易》中包含有數學問題，其中最為重要的是《周易·繫辭上傳》中所言：“天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十。天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十有五，地數三十，凡天地之數，五十有五，此所以成變化而行鬼神也。大衍之數五十，其用四十有九。分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏，五歲再閏，故再扐而後掛。乾之策，二百一十有六。坤之策，百四十有四。凡三百有六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數也。是故四營而成易，十有八變而成卦，八卦而小成。引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。”毫無疑問，這一揲蓍卜筮之法包含了數學問題。對此，歷代數學家多有研究。北周數學家甄鸞曾撰《五經算術》，《四庫全書·五經算術》“提要”說：“是書舉《尚書》、《孝經》、《詩》、《易》、《論語》、《三禮》、《春秋》之待算乃明者列之。”其中卷上“《周易》策數法”對上述《周易》中的數學問題作了研究和注釋。甄鸞說：“天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。天數奇，二十五。地數耦，三十。並天地之數，合五十五，謂之大衍之數。揲蓍得乾者，三十六策然後得九一爻。爻有三十六策，合二百一十六。揲蓍得坤者，二十四策然後得六一爻。爻有二十四策，合一百四十四。並乾、坤之策，三百六十，當一期之日者，舉全數也。上下經有六十四卦，卦有六爻，合三百八十四爻。陰陽各半。陽爻稱九，陰爻稱六。九、六各百九十二也。陽爻以三十六策乘之，得六千九百一十二，陰爻以二十四策乘之，得四千六百八。並陰陽之策，合得一萬一千五百二十也。四營者，仰象天，俯法地，近取諸身，遠取諸物也。十八變者，三變而成爻，十八變而六爻也。八卦而小成者，言雖成易，猶未備也。”[[9]]（《周易策數法》）從數學的角度看，甄鸞的論述只是涉及算術中的加乘運算，但是可以從中看到古代數學家對於《周易》中的數學問題的關注；更重要的是，《五經算術》作為“算經十書”之一，其所包含的對《周易》中數學問題的研究，對於後世是具有重要影響的。
宋朝數學家秦九韶所撰的《數書九章》分為九類，每類九題，合八十一題。其第一類為“大衍類”，論及“大衍求一術”。秦九韶說：“崑崙旁礴，道本虛一，聖有大衍，微寓於《易》。奇余取策，群數皆捐，衍而究之，探隱知原。”[4]（《序》）他認為，“大衍求一術”存在於《周易》之中，只要深入研究《周易》揲蓍卜筮之法就能夠把握。為此，該類的第一題為“蓍卦發微”：“問：《易》曰：‘大衍之數五十，其用四十有九’，又曰：‘分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時’，三變而成爻，十有八變而成卦。欲知所衍之術及其數各幾何？”[4]（《大衍類》）根據數學史家的研究，這裡所提出的“大衍求一術”和現代通常所謂的一次同餘組解法相類似。[[10]]由此可見，秦九韶不僅從《周易》揲蓍之法中提出了數學問題，而且通過對這一數學問題的研究，引伸出一次同餘組的解法，並且還明確把這一解法與《周易·繫辭傳》的“大衍之數”聯繫在一起，而稱之為“大衍求一術”，這不能不說是易學研究與數學研究的一種和諧的統一。
第三，對《周易》中數學問題的進一步發揮。《周易》中的數學問題除以上所述揲蓍卜筮之法外，還有“河圖洛書”問題。從數學的角度看，“洛書”是一個三階縱橫圖（見下圖）。
有關“洛書”的數字排列最早可見《大戴禮記·明堂》在論及明堂時所說的“二、九、四；七、五、三；六、一、八”。《黃帝內經·靈樞》的《九宮八風》篇也記有：“立秋二，玄委，西南方；秋風七，倉果，西方；立冬六，新洛，西北方；夏至九，上天，南方；招搖中央；冬至一，葉蟄，北方；立夏四，陰洛，東南方；春分三，倉門，東方；立春八，天留，東北方。”《易緯·乾鑿度》說：“太一取其數以行九宮，四正四維皆合於十五。”後來的數學家甄鸞在《數術記遺》中對“九宮”作注釋時說：“九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”宋代的劉牧把“洛書（劉牧稱之為“河圖”）”與“九宮”等同起來，並且說：“昔虙犧氏之有天下，感龍馬之瑞，負天地之數出於河，是謂龍圖者也。戴九履一，左三右七，二與四為肩，六與八為足，五為腹心，縱橫數之皆十五。”[[11]]宋代理學家朱熹在所著《周易本義》中首先論及“河圖洛書”的來源，並且說：“洛書蓋取龜象。故其數戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。”[2]宋朝時期的數學家楊輝對“洛書”這一三階縱橫圖作了深入的研究，並引伸到對多階縱橫圖的研究。在所撰的《楊輝算法·續古摘奇算法》中，楊輝進一步構造出了四階縱橫圖，並給出構造方法。此外，他還構造出了五階、六階、七階、八階、九階和十階縱橫圖，十階縱橫圖又稱“百子圖”（見右圖）：
繼楊輝之後，明代數學家王文素的《算學寶鑒》以及程大位的《算法統宗》也對多階縱橫圖及其構造方法作過的論述。應當說，中國古代數學家對於縱橫圖的研究在很大程度上是與《周易》密切相關的。
三．《周易》與古代數學
理解《周易》與中國古代數學的密切關係，可以從儒家與古代數學的關係入手。早在春秋戰國時期，數學就受到儒家較大的重視。春秋戰國時期，儒家教育以“六藝”，即禮、樂、射、御、書、數，為基本內容；《周禮·地官司徒》有所謂“一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數”，這裡的“數”實際上包括古代的數學知識，“九數”就是指當時數學這門功課的九個細目。至於“九數”的細目，《周禮》中沒有列出。東漢的鄭玄在他的《周禮註疏·地官司徒·保氏》中引鄭司農（鄭眾）所言：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股。”這與《九章算術》的綱目大致相同。漢代，儒家經典被確立，同時，數學也被認為是儒家必須修習的科目。中國數學史家錢寶琮先生甚至認為，“《九章算術》的編集與東漢初年經古文學派的儒士有密切的關係”[[12]]。南北朝時期的顏之推撰《顏氏家訓》，其中的“雜藝”篇說：“算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律歷者，皆學通之。”認為儒家應當通曉數學。可見，在中國古代，數學與儒學具有非常密切的關係。正因為如此，也就不難理解被列為儒家五經之首的《周易》與古代數學的密切關係。
《周易》對於數學的影響至少包括兩個方面：
其一，《周易》對古代數學家的知識結構的影響。古代數學家大都學習或研究過《周易》，甚至精通《周易》，因此，《周易》是古代數學家的知識結構中重要的組成部分。這樣，他們在研究數學時或多或少會受到《周易》的影響；而且，這種影響是多層次、多方面的。
其二，易學對古代數學家研究方式的影響。《易傳》在詮釋《周易》時認為，《周易》“廣大悉備，有天道焉，有人道焉，有地道焉”[2]（《繫辭下傳》），而且是後來所有知識的總源頭。與此相類似，古代數學家在研究數學時，首先要討論“源”的問題，並且總是把《周易》看作是數學的源頭，同時還試圖從《周易》中引伸出數學問題進行研究。古代數學家的這一研究方式顯然是受到《易傳》的影響。
正是在《周易》的影響之下，中國古代數學家，或是把數學產生的源頭歸於《周易》，或是採用《周易》的概念以表達數學問題，或是對《周易》中的數學問題進行研究和引伸，從而對古代數學的發展做出了貢獻，同時也證明了《周易》對於古代數學發展所起的積極作用。
但是又必須看到，數學與易學畢竟是屬於不同的學科體系，以為所有的古代數學知識都包含於《周易》之中，所有的數學知識都可以從《周易》中按照邏輯推演出來，或者說只要研究《周易》就能掌握數學知識，即使是古代數學家也沒有過如此的斷言。
因此，研究中國古代數學與《周易》的關係，既要看到《周易》對於古代數學發展的積極作用，同時又必須看到這種作用是有限的；中國古代數學的發展更多的取決於古代數學家們對於數學問題的研究。 作者：樂愛國
【參考文獻】
[[1]]劉徽．九章算術注[M]．文淵閣四庫全書．
[[2]]朱熹．周易本義[M]．上海：上海古籍出版社．1987．
[[3]]杜石然．中國古代科學家傳記[M]．北京：科學出版社．1992．
[[4]]秦九韶．數書九章[M]．文淵閣四庫全書．
[[5]]杜石然．朱世傑研究[A]．宋元數學史論文集[C]．北京：科學出版社．1966．
[[6]]朱世傑．四元玉鑒[M]．任繼愈．中國科學技術典籍通匯·數學卷一．鄭州：河南教育出版社．1993．
[[7]]程大位．算法統宗[M]．任繼愈．中國科學技術典籍通匯·數學卷二．鄭州：河南教育出版社．1993．
[[8]]徐岳．數術記遺[M]．文淵閣四庫全書．
[[9]]甄鸞．五經算術[M]．文淵閣四庫全書．
[[10]]錢寶琮．中國數學史[M]，北京：科學出版社．1964．206．
[[11]]劉牧．易數鉤隱圖遺論九事[M]．文淵閣四庫全書．
[[12]]錢寶琮．九章算術及其劉徽注與哲學思想的關係[A]．錢寶琮科學史論文選集[C]．北京：科學出版社．1983．
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